Calculs d'aires

1. Découverte

| 5 min. | découverte

Questions de départ (notées au tableau): Qu’est-ce qu’une surface ? Peut-on la mesurer ? Comment ? Quelle est la différence entre une longueur et une surface ?

2. Recherche

| 10 min. | recherche

Fiche 1

Consigne : Sans toucher la feuille, déterminer combien il y a de « u » dans chaque figure. Vous travaillez par groupe de deux élèves.

3. Mise en commun

| 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Les résultats des recherches les plus significatives sont notées au tableau. → Mise en évidence de la disparité des résultats.

Problèmes rencontrés : il est très difficile de compter les unités sans toucher la feuille.

Conclusion : « à l’œil », ça ne marche pas.

Quels moyens peut-on utiliser pour que le résultat soit fiable ?

► Nécessité d’un pavage (découpage des bandes qui se situent au bas de la feuille) à partir d'une unité "u".

4. Nouvelle recherche

| 15 min. | recherche

Recomptage avec autorisation de découper les bandes au bas de la feuille. Il s'agit de les utiliser le plus judicieusement possible afin d'arriver au résultat.

5. Nouvelle mise en commun

| 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

Les résultats notés, doivent, cette fois, montrer moins de disparités.

Pour les figures qui posent problème, faire effectuer un pavage effectif. Un fractionnement de l’unité est parfois nécessaire (découpage). Cette manipulation est une phase importante pour les élèves ayant des problèmes de représentation mentale de la situation de comptage par rapport à une fraction de l'unité étalon.

Bien insister sur le fait qu'une surface a été mesurée (Mesurer une longueur, c’est comme mesurer une ligne. Pour plus de clareté, demander aux élèves de "mesurer" par comptage les périmètre des différentes figures).

Dans le cas où les résultats trouvés ne seraient pas les mêmes, expliquer les erreurs (problème de comptage, mauvaise application des carrés représentant des unités sur les figures…)

Question subsidiaire : Combien y a-t-il de « s » dans chaque figure ? (→ Le double de ce qui a été énoncé plus haut)

6. Institutionnalisation

| 5 min. | découverte

Synthèse apportant des éléments de réponse aux questions de départ.

Qu’est-ce qu’une surface ? Peut-on la mesurer ? Comment ? Quelle est la différence entre une longueur et une surface ?

La surface d'une figure est "la place" que prend cette figure dans le plan. On peut la mesurer en utilisant une unité. Il faut alors se demander "combien de fois" l'unité est présente dans la surface à mesurer. Parfois, il faut fractionner l'unité pour mesurer convenablement une surface donnée.

1. Rappel de la séance précédente

| 10 min. | réinvestissement

Rappel des réponses aux questions de départ posées précédemment.

Recherche rapide :

Fiche 1:

Dans quelle figure y a-t-il le plus de « u » ? Dans laquelle y en a-t-il le moins ?

→ Classement des figures ayant la plus petite surface à la plus grande. Le maître insiste sur la notion de surface (avec comme unité « u », qui ressemble à un carreau couvrant le sol)

2. Recherche

| 5 min. | recherche

Distribution de la fiche 2:

Dites, le plus rapidement possible combien il y a de « u » dans la figure A.

3. Mise en commun

| 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Certains élèves ont trouvé très vite, d’autres n’ont pas fini de compter. Comment ont fait ceux qui n’ont pas trouvé ? Comment ont fait ceux qui n'ont pas fini ? Comment ont fait ceux qui ont trouvé rapidement ?

► Système de comptage le plus efficace : Multiplier la longueur par la largeur.

4. Nouvelle recherche

| 10 min. | recherche

Combien de « u » dans la figure B ?

5. Nouvelle mise en commun

| 10 min. | découverte

Certains élèves ont trouvé très vite, d’autres n’ont pas fini de compter. Comment ont fait ceux qui n’ont pas trouvé ? Comment ont fait ceux qui n'ont pas fini ? Comment ont fait ceux qui ont trouvé rapidement ?

► Système de comptage le plus efficace : décomposer les figures en figures plus simples et multiplier la longueur par la largeur pour chaque quadrilatère trouvé (un coloriage des quadrilatères "cachés" peut grandement aider).

6. Exercice d'application : évaluation formative

| 10 min. | évaluation

Reprise de ce qui a été vu lors de la séance. Il n'est pas encore nécessaire de déduire des formules de calculs (mais on peut le faire avec les élèves les plus avancés).

Fiche 3 (exercices) à faire en individuel avec correction différée. La correction reprendra tous les points vus lors des deux séances réalisées (séance 1 et 2).

1. Rappel de la séance précédente

| 5 min. | entraînement

Le rappel de la séance précédente peut se faire sous forme de correction de l'exercice d'application donné précédemment (fiche 3).

2. Recherches

| 15 min. | recherche

Question de départ : comment calcule-t-on l'aire d'une figure ? (Toutes les réponses sont notées au tableau).

Fiche 4

Calculer l'aire des différentes figures. Le comptage est autorisé pour vérification mais il doit y avoir trace des calculs sur les fiches.

3. Mise en commun

| 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

La mise en commun peut montrer de fortes disparités entre les résultats trouvés par les élèves. En cause, un système de comptage induisant des erreurs (ou une prise de temps trop conséquente due à ce même comptage). En cause aussi, une appropriation approximative des formules de calcul d'aires. En outre, les figures complexes peuvent ne pas avoir été identifées comme un ensemble de figures plus simples à identifer par "découpage" (au crayon à papier). L'important ici est l'argumentation des élèves. Au plus vite, faire émerger les formules de calculs d'aire du carré et du rectangle (vues précédement) et les noter au tableau.

Pour les figures E et F, faire émerger qu'il s'agit de moitiés de quadrilatères particuliers (carré et rectangle). Par conséquent, il faut compter "comme si" il s'agissait de quadrilatères et partager leurs surfaces en deux.

Différenciation proposée : Certains élèves pourraient avoir trouvé toutes les solutions. Cela montre que la notion a été construite. Les lancer sur des activités de type exercice de manuel sans hésitation. Les autres continuent avec le professeur.

4. Nouvelle recherche

| 15 min. | recherche

Pour ceux qui éprouvent des difficultés, un traçage effectif (en pointillés) des moitiés de quadrilatères (figures F et G) peut aider à mieux comprendre la manipulation mentale menant au calcul des aires des figures concernées. Au préalable aussi, une reconnaissance des figures "cachées" dans les figures complexes (figure H) par coloriage constitue une excellente remédiation avant passage au calcul.

5. Institutionnalisation

| 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Après un temps de réflexion, faire une nouvelle mise en commun qui montrera moins de disparités entre les résultats donnés par les élèves.

⇒ Retour sur la question de départ : comment calcule-t-on l'aire d'une figure ? (Toutes les réponses notées au tableau sont, soit barrées lorsqu'elles sont erronées, soit complétées).

Pour calculer l'aire d'une figure, je dois connaître ses mesures.

Pour un carré : côté x côté

Pour un rectangle : Longueur x largeur

Pour un triangle rectangle : Longueur x largeur (du quadrilatère) : 2

Pour une figure complexe : identifier les quadrilatères et les triangles qui la composent puis calculer chaque aire. Enfin, ajouter toutes les aires.

1. Rappel de la séance précédente

| 5 min. | découverte

Rappel de ce qui a été dit lors de la séance 3 sur la façon de calculer les aires des figures les plus communes et les figures complexes.

Fiche 4

Faire compléter collectivement la partie "Formules".

2. Recherche

| 15 min. | recherche

Calculez les aires de chaque figure. Vous pouvez vous servir du formulaire que nous venons de compléter.

Régulation du maître :

Le maître passe dans les binômes et invite les élèves les plus en difficulté à identifier la nouvelle unité étalon "u" comme étant le cm2. Certains pourraient aussi ne pas reconnaître les figures simples dans les figures complexes présentées. Les aider en les invitant à fractionner les ensembles au crayon à papier et par coloriage.

3. Mise en commun

| 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

La mise en commun doit permettre d'établir le lien entre le formulaire et les démarches utilisées lors des séances précédentes. Inviter les élèves aidés par le maître lors de la phase de recherche à intervenir, notamment, en insistant sur les relations "u"/"cm2".

Laisser les élèves qui semblent avoir éprouvé des difficultés sur des exercices d'application pris dans des manuels de mathématiques (groupe 1). Continuer avec le reste de la classe (groupe 2).

4. Nouvelle recherche

| 15 min. | recherche

Fiche 5 :

Travail individuel :

Calculez les aires de chaque figure; nous pourrons ainsi compléter la fiche de formule.

Régulation du maître :

Le maître passe dans les rangs. Il peut créer des binômes (remédiation). Il invite les élèves les plus en difficulté à effectuer des manipulations mentales afin d'identifier des figures plus connues (parallélogramme ⇒ rectangle / losange ⇒ carré / triangles ⇒ triangles rectangles)

5. Nouvelle mise en commun

| 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

La nouvelle mise en commun pemet de compléter les formules manquantes. Les autres élèves terminent leurs exercices. Procéder à une correction collective pendant que ceux du groupe 2 commencent leurs exercices sur des figures complexes. (Correction différée pour ce groupe)